Keturkampiai

Keturkampiai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Keturkampiai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Keturkampio vidaus kampų suma lygi 360°. Keturkampiai klasifikuojami pagal lygiagrečias kraštines, kampus ir įstrižainių savybes. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, priešingi kampai lygūs, o įstrižainės dalija viena kitą pusiau.

Stačiakampis yra lygiagretainis su keturiais stačiais kampais, todėl jo įstrižainės dar ir lygios. Rombas turi keturias lygias kraštines; jo įstrižainės statmenos ir dalija kampus pusiau. Kvadratas kartu yra ir stačiakampis, ir rombas, tad turi abiejų figūrų savybes.

Trapecija turi bent vieną lygiagrečių kraštinių porą, vadinamą pagrindais. Jos aukštinė yra statmuo tarp pagrindų, o vidurinė linija lygi pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui. Skaičiuojant plotą būtina naudoti aukštinę, ne šoninę kraštinę.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ$$ $$S_{\text{lygiagretainio}}=ah$$ $$S_{\text{trapecijos}}=(a+b)h/2$$ $$m=(a+b)/2$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Trapecijos pagrindai yra 8 cm ir 14 cm, o aukštinė – 5 cm. Raskite plotą ir vidurinės linijos ilgį.

1. Sudedame pagrindus: $8+14=22$ cm.
2. Plotas: $S=22\cdot5/2=55$ cm².
3. Vidurinė linija: $m=22/2=11$ cm.

Atsakymas. Plotas 55 cm², vidurinė linija 11 cm.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Trapecijos šoninę kraštinę laikyti aukštine, nors ji nėra statmena pagrindams.
• Manyti, kad kiekvieno lygiagretainio įstrižainės yra lygios.
• Keturkampio kampų sumai taikyti trikampio 180° taisyklę.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Trys keturkampio kampai yra 80°, 95° ir 110°. Raskite ketvirtąjį.
2. Stačiakampio kraštinės 6 cm ir 9 cm. Raskite plotą.
3. Kvadrato plotas 81 cm². Raskite kraštinę.
4. Lygiagretainio pagrindas 12 cm, aukštinė 7 cm. Raskite plotą.
5. Rombo įstrižainės 10 cm ir 16 cm. Raskite plotą.
6. Trapecijos pagrindai 5 cm ir 13 cm, aukštinė 4 cm. Raskite plotą.
7. Trapecijos vidurinė linija 9 cm, vienas pagrindas 6 cm. Raskite kitą.
8. Įvardykite keturkampį, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai statūs.

Atsakymai savitikrai

1. $75^\circ$.
2. $54$ cm².
3. $9$ cm.
4. $84$ cm².
5. $80$ cm².
6. $36$ cm².
7. $12$ cm.
8. Kvadratas.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Keturkampiai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.