egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Iracionalieji skaičiai

Orientacinė trukmė: ~20 min

Iracionalieji skaičiai

Apibrėžimas

Iracionaliuoju skaičiumi vadinamas skaičius, kurio negalima išreikšti paprastąja trupmena p/q.

Iracionaliųjų skaičių dešimtainis užrašas yra begalinis neperiodinis.

Pavyzdžiai: √2 ≈ 1,41421356..., π ≈ 3,14159265..., e ≈ 2,71828...

Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės kartu sudaro realiųjų skaičių aibę (ℝ).

Kvadratinė šaknis

a=b⇔b2=a,b≥0,a≥0\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a, \quad b \geq 0, \quad a \geq 0

Pavyzdžiai:

  • 25=5\sqrt{25} = 5 (nes 5² = 25)
  • 0=0\sqrt{0} = 0
  • 1=1\sqrt{1} = 1
  • 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414 (iracionalusis)

Svarbu: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| (modulis!)

Šaknų taisyklės

a⋅b=a⋅b(a,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0)

ab=ab(b>0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)

(a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)

a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Šaknų suprastinimas

Pavyzdys 1

12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Pavyzdys 2

75=25⋅3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}

Pavyzdys 3

50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}

Veiksmai su šaknimis

Sudėjimas ir atimtis

Sumuojame tik panašias šaknis (su tuo pačiu posakniu):

32+52=823\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

8+18=22+32=52\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

Daugyba

3⋅5=15\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}

23⋅43=8⋅3=242\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24

(1+2)(1−2)=1−2=−1(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1 - 2 = -1

Vardiklio racionalizavimas

12=22\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

325=3510\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10}

11+3=1−3(1+3)(1−3)=1−31−3=1−3−2=3−12\frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}

Aukštesnio laipsnio šaknys

an\sqrt[n]{a} – skaičius bb, toks, kad bn=ab^n = a

Pavyzdžiai:

  • 83=2\sqrt[3]{8} = 2 (nes 2³ = 8)
  • −273=−3\sqrt[3]{-27} = -3 (nes (–3)³ = –27)
  • 164=2\sqrt[4]{16} = 2 (nes 2⁴ = 16)

Savarankiško darbo užduotys

  1. Ar šie skaičiai yra iracionalieji: 16\sqrt{16}; 5\sqrt{5}; 0,101001000...0{,}101001000...; π\pi?
  2. Suprastinkite: √48
  3. Suprastinkite: √200
  4. Sudėkite: 2√3 + 5√3 – √3
  5. Sudėkite: √12 + √27
  6. Padauginkite: √6 · √6
  7. Padauginkite: (√5 + √3)(√5 – √3)
  8. Racionalizuokite vardiklį: 4/√7
  9. Racionalizuokite: 1/(√3 + 1)
  10. Apskaičiuokite: √(3² + 4²)