Vidurkis, mediana ir moda

Kam reikalingos statistinės charakteristikos?

Įsivaizduokite: turite 30 mokinių matematikos pažymius. Kaip vienu skaičiumi apibūdinti visos klasės rezultatą? Tam ir naudojamos statistinės charakteristikos – skaičiai, kurie apibūdina visą duomenų rinkinį.

Trys pagrindinės charakteristikos: vidurkis, mediana ir moda.

Aritmetinis vidurkis

Aritmetinis vidurkis (žymimas $\bar{x}$ ) – tai visų reikšmių suma, padalyta iš reikšmių skaičiaus.

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$

Čia $n$ – duomenų skaičius, $x_1, x_2, \ldots, x_n$ – atskiros reikšmės.

Pavyzdys 1. Tomo matematikos pažymiai per trimestrą: 7, 8, 6, 9, 8, 7, 10, 8.

1 žingsnis – susumuojame: $7 + 8 + 6 + 9 + 8 + 7 + 10 + 8 = 63$

2 žingsnis – suskaičiuojame, kiek pažymių: $n = 8$

3 žingsnis – dalijame:

$\bar{x} = \frac{63}{8} = 7{,}875$

Tomo pažymių vidurkis – 7,88 (suapvalinus iki šimtųjų).

Pavyzdys 2. Penkių draugų kišenpinigiai per savaitę (eurais): 5, 10, 8, 7, 10.

$\bar{x} = \frac{5 + 10 + 8 + 7 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8 \text{ EUR}$

Vidutiniškai vienas draugas gauna 8 € per savaitę.

Mediana

Mediana ( $Me$ ) – tai reikšmė, kuri atsiduria tiksliai per vidurį, kai duomenys surikiuoti nuo mažiausio iki didžiausio.

Kaip rasti medianą:

Surikiuojame reikšmes didėjimo tvarka.
Jei reikšmių skaičius $n$ nelyginis – mediana yra vidurinė reikšmė (eilės numeris $\frac{n+1}{2}$ ).
Jei $n$ lyginis – mediana yra dviejų vidurinių reikšmių vidurkis.

Pavyzdys 3. Septynių mokinių ūgiai (cm): 168, 155, 172, 160, 175, 158, 163.

1 žingsnis – rikiuojame: 155, 158, 160, 163, 168, 172, 175

2 žingsnis – $n = 7$ (nelyginis), vidurinė pozicija: $\frac{7+1}{2} = 4$

Mediana = ketvirtoji reikšmė = 163 cm.

Pavyzdys 4. Šešių draugų kontrolinio rezultatai: 45, 78, 62, 91, 55, 83.

1 žingsnis – rikiuojame: 45, 55, 62, 78, 83, 91

2 žingsnis – $n = 6$ (lyginis), vidurinės pozicijos: 3-ioji ir 4-oji reikšmės.

$Me = \frac{62 + 78}{2} = \frac{140}{2} = 70$

Mediana = 70 taškų.

Moda

Moda ( $Mo$ ) – tai reikšmė, kuri duomenyse pasikartoja dažniausiai.

Duomenyse gali būti viena moda, kelios modos arba modos gali nebūti (jei visos reikšmės skirtingos).

Pavyzdys 5. Mokinių batų dydžiai: 38, 39, 40, 39, 41, 39, 42, 40, 39, 38.

Surašome dažnius:

Dydis	38	39	40	41	42
Dažnis	2	4	2	1	1

Dažniausiai pasikartoja dydis 39 (4 kartus), todėl $Mo = 39$ .

Pavyzdys 6. Pažymiai: 7, 8, 9, 10, 6. Kiekvienas pažymys pasikartoja tik po vieną kartą – modos nėra.

Imties plotis

Imties plotis (žymimas $R$ ) rodo, kaip plačiai „išsibarsčiusios" reikšmės:

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Pavyzdys 7. Klasės pažymiai: 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.

$R = 10 - 4 = 6$

Imties plotis yra 6 – pažymiai skiriasi gana stipriai.

Kada kurią charakteristiką naudoti?

Charakteristika	Privalumas	Trūkumas	Kada naudoti
Vidurkis $\bar{x}$	Atsižvelgia į visas reikšmes	Jautrus išskirtims (labai didelėms ar mažoms reikšmėms)	Kai reikšmės panašios, nėra kraštutinių nuokrypių
Mediana $Me$	Atspari išskirtims	Neatsižvelgia į visas reikšmes	Kai yra kelios labai didelės ar mažos reikšmės
Moda $Mo$	Lengva rasti, tinka kategoriniams duomenims	Gali nebūti arba būti kelios	Kai ieškome populiariausios reikšmės

Pavyzdys 8 (vidurkis vs. mediana). Penkių mokinių kišenpinigiai per savaitę: 5 €, 7 €, 6 €, 8 €, 50 €.

$\bar{x} = \frac{5 + 7 + 6 + 8 + 50}{5} = \frac{76}{5} = 15{,}2 \text{ EUR}$

Surikiuojame: 5, 6, 7, 8, 50 → $Me = 7$ €

Vidurkis (15,2 €) neatspindi tikrovės – dauguma gauna apie 6–8 €. Vienas mokinys su 50 € „iškreipė" vidurkį. Mediana (7 €) tiksliau parodo tipinę sumą.

Savarankiško darbo užduotys

Mokinės Eglės lietuvių kalbos pažymiai: 8, 7, 9, 6, 8, 10, 7, 8, 9. Apskaičiuokite pažymių vidurkį.
Per savaitę kiekvieną dieną Matas atliko namų darbus: 25 min, 40 min, 30 min, 35 min, 20 min, 45 min, 30 min. Raskite laiko vidurkį.
Surikiuokite duomenis ir raskite medianą: 12, 5, 8, 15, 3, 9, 11.
Raskite medianą: 22, 18, 30, 25, 27, 20.
Nustatykite modą: 3, 5, 7, 3, 8, 5, 3, 9, 5, 3.
Devynių krepšininkų ūgiai (cm): 178, 185, 190, 182, 195, 180, 188, 183, 179. Raskite vidurkį, medianą ir imties plotį.
Varžybose komandos pelnė taškus: 15, 22, 18, 95, 20, 17, 21. Kuri charakteristika (vidurkis ar mediana) geriau apibūdina tipinį komandos rezultatą? Pagrįskite apskaičiavimais.
Klasėje mėgstamiausias mokslo dalykas: matematika, anglų k., matematika, biologija, anglų k., matematika, kūno k., anglų k., matematika. Kokia yra moda?
Dviejų klasių matematikos pažymiai:
- 9a klasė: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10
- 9b klasė: 4, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 Apskaičiuokite abiejų klasių vidurkius ir medianas. Kuri klasė pasirodė geriau?
Sugalvokite duomenų rinkinį iš 7 skaičių, kurio vidurkis būtų 6, mediana – 7, o moda – 7.